ELTE címer
ELTE TTK Matematikai Intézet
Matematikatanítási és Módszertani Központ
Matematika tanár
(osztatlan)
Matematika BSc Matematika BSc
tanári szakirány Matematika tanári MA Matematika tanári MA levelező Speciálkollégiumok a 2016-17-es tanév 2. félévében Doktoranduszoknak

Ismeretterjesztő matematika

mm1c9e44 speciálkollégium

A tantárgy célja:

A tárgy célkitűzése átfogó képet nyújtani a matematika különböző területeiről, amelyek a matematika tanár szakos anyagban nem, vagy csak érintőlegesen szerepelnek. Az egyes témaköröket ismeretterjesztő formában mutatom be, az adott tudományterület alapgondolataira, a fogalmak szemléletes jelentéseire, és alapvető, könnyen levezethető vagy illusztrálható összefüggésekre helyezve a hangsúlyt. Az alapvetően a 19-20. században keletkezett matematikai elméletek kialakulásának történetéről és az ezeket létrehozó gondolkodásmódról is szó lesz. Az előadások összeállításában első sorban a hallgatók fantáziájára építek. Az a törekvés, hogy próbáljuk megérteni, hogyan és miért jöttek létre a szóban forgó diszciplínák. A matematikailag precíz felépítés majdnem minden esetben hiányzik: ennek az érdeklődő hallgatók az ajánlott irodalmakban tudnak utánanézni. A tantárgy honlapján minden témakörhöz tartozik egy függelék, amely vázolja, hogyan lehet az előadáson elhangzottakat precízzé tenni, és az ELTE-n mely tantárgyak foglalkoznak részletesen az adott témával.

Szükséges előismeretek:

A tantárgy ismeretterjesztő jellegű, semmilyen, gimnáziumi szintet meghaladó előismeretre nem támaszkodik. Ha valaki tanult már az itt szereplő témákról másmilyen felépítésben, az előnyt jelenthet, hiszen a különböző megközelítések összehasonlítása mélyebb megértést eredményez.

Tematika tömören:

  • Matematikai dimenziófogalmak: fraktálok dimenziója, 4- és többdimenziós terek geometriája, Fourier-sor, mint báziscsere egy végtelen dimenziós függvénytérben.
  • A téridő geometriája, a klasszikus mechanika és a relativitáselmélet összehasonlítása tisztán geometriai szemszögből.
  • A matematika egy lehetséges megalapozása a halmazfogalom segítségével. Számolás a végtelenekkel: a halmazelmélet Cantortól napjainkig.
  • Az axiomatikus felépítés és a modell fogalom bemutatása a különböző geometriákon keresztül: hiperbolikus, projektív és véges geometriák.
  • Egy elemi tétel utóélete: az Euler-karakterisztika megjelenései.
  • Vektormezők, komplex függvények, az algebra alaptételének szemléletes topológiai bizonyítása.

    • Tematika részletesen:

    1. Fraktálok. (Dimenzió fogalom a hossz, terület, térfogat viselkedése alapján, önhasonló konstrukciók, ezek dimenziójának kiszámolása. Mese a kaotikus dinamikai rendszerekről, attraktorokról.)
    2. Négy és több dimenziós terek. (Hogyan "képzeli el" a matematika, játszadozás négy dimenziós kockával, n elemű halmaz részhalmazhálója az n dimenziós kocka élhálója. Forgatás a sík körül 4-dimenziós térben. n dimenziós gömbfelület elképzelése. Mese a végtelen dimenziós terek használatáról, Fourier-sorok.)
    3. Téridő. (A newtoni és az einsteini téridőmodell geometriai összehasonlítása, ugyanott és ugyanakkor fogalma a newtoni (avagy a józan paraszti ész szerinti) világképben, geometriai modell. Fényterjedés abszolút volta és ennek következményei. Az abszolút egyidejűség elvetése, geometriai modell. Megfigyelők szerinti egyidejűség. Az ikerparadoxon és a vonatos-alagutas paradoxon részletes vizsgálata a geometriai kép alapján.)
    4. Minden halmaz? (Játszadozás az alapokkal, hogyan lehet kb. minden matematikai objektumot halmazokkal modellezni, mi ennek a célja és értelme. Ekvivalenciarelációk, partíciók, faktorkonstrukció.)
    5. Végtelenek 1-2. (Végtelen szállodáktól a megszámlálhatóan végtelenig, N, Z, Q számossága. Kontinuum számosság, a geometriai jelentés filozófiája: hogyan lesz a "pontszerűből" "folytonos". Végtelen sok végtelen számosság. Problémák: Paradoxonok a naív halmazelméletben, megoldási kísérletek. Kontinuum-hipotézis. A ZFC axiómarendszer, mint egy lehetséges megoldás. A sorszámok végtelen megfelelői, a rendszámok. Az összes végtelen számosság "felsorolása", az alefek. Mese a forszolásról.)
    6. Hiporbolikus geometria. (Mese az axiómákról, a tételek-bizonyítások felépítéséről. A párhuzamossági axióma története. Új geometria, mint indirekt bizonyítási kísérlet. Modellek, a két geometria "egymásra utaltsága". Mese a "végtelen sugarú kör" megfelelőiről, paraciklus, holoszféra.)
    7. Projektív geometria. (Kúpszeletek, hasonló tulajdonságok, vetületek. "Végtelen távoli" egyenes bevezetése. Másodfokú egyenletek és kúpszeletek kapcsolata a végtelen távoli egyenes segítségével. Véges affin és projektív geometriák, mese hibafelismerő és javító kódokról.)
    8. Felületek topológiája (A topológia alapgondolata. Érdekesebb objektumok: Möbius-szalag, Klein kancsó, tórusz, több génuszú felületek, tulajdonságaik. Felületek osztályozása. A projektív sík helye az osztályozásban. 3 dimenziós térbeli megvalósulások: keresztsapka, Boy-felület. Magasabb dimenziók, S^3 tórusz-felbontása, a "tökéletes ölelés".)
    9. Egy kis algebra: ami ugyanúgy viselkedik, az ugyanaz. (Formális számolások, permutációk és szimmetriák, szavak összefűzése, szabadcsoportok, csoportok prezentálása.)
    10. Topológia és csoportok. (Fonatcsoportok. Terek fundamentális csoportja, kép felfüggesztése két szögre, lyukas tórusz pereme mint kommutátor. A projektív sík fundamentális csoportja. SO(n), az n-dimenziós tér forgatásainak csoportja. SO(2) és SO(3) topológiája, SO(3) fundamentális csoportja.)
    11. Euler-karakterisztika. (Euler-poliédertétel, több génuszú felületeken és több dimenziós gömbön is. Sündisznó-tétel. Felületek Gauss-görbülete, Theorema Egregium, Gauss-Bonet tétel lokális és globális változata, spaciálisan gömbi és hiperbolikus geometriában.)
    12. Komplex függvények. (Komplex függvények, mint vektormezők. A hatványozás tulajdonságai. Az algebra alaptételének topológiai bizonyítása. Speciális komplex függvények: exponenciális, logaritmus, szögfüggvények. Komplex deriválhatóság szemléletes jelentése. Az algebra alaptétele a Liuville-tételből.)

    Követelmények:

    A kitűzött feladatok megoldása.

    A tantárgy oktatásának módja:

    Heti 2 óra előadás.

    Értékelés:

    kollokvium, megajánlott jegy a beküldött feladatmegoldások alapján

    Pótlási lehetőség:

    Szóbeli vizsga

    Ajánlott irodalom:

    Kapcsolattartás:

    Pintér Gergő