Axiomatizálás a gömbön
speciálkollégium
A tantárgy célja:
A modern algebra alapfogalmainak vizsgálata a csoport- és testelmélettől eltérő algebrai struktúrák tanulmányozása útján. Axiómák és axiómarendszerek.
Tartalom:
Algebrai struktúra fogalma. Bináris művelet vizsgálata számhalmazban és geometriai alakzatokból álló halmazban. Műveletre nézve zárt halmaz. Bináris művelet értelmezése a gömbi geometriában értelmezett alakzatok között. Kommutativitás, egyszerűsítés, asszociativitás, egységelem, inverz művelet. Másféle, a gömbi műveletre jellemző tulajdonságok. Axiómarendszer választása. Az axiómákból levezethető és nem levezethető tulajdonságok: tételek és további axiómák. Nem-izomorf, véges és végtelen modellek. Kapcsolat a véges geometriákkal és a testelmélettel.
Követelmények:
A gömbi geometria alapszintű ismerete (a földrajzi koordináta-rendszer megértéséhez szükséges gömbi geometriai fogalmak: gömbi egyenes/főkör, gömbi kör, átellenes pontok). Algebrai alapfogalmak számhalmazokban az összeadásra és szorzásra nézve: művelet, kommutativitás, asszociativitás, egységelem.
Értékelés:
Vizsgán, ötfokozatú skálán. A vizsgafeladatok és kérdések célja annak kiderítése, hogy a hallgató elindult-e a szemléletváltás útján, eljutott-e az algebrai struktúrák és axiómarendszerek tágabb, a számfogalomtól elszakadó értelmezéséig.
Irodalom:
- Lénárt I.: Ellenpéldák a rajzgömbön I-II. Polygon, Szeged. II/2, 37-61, 1992; III/1, 75-90, 1993.
- Lénárt I.: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Tankönyv (akkreditálva 2000-2004). Múzsák Kiadó, Budapest. 1996.
- Lénárt I.: Spherical Algebra. In: Mathematical Wizardy for A Gardner, Eds. E. Pegg Jr., A. H. Schoen, T Rodgers. AK Peters Ltd (2009), pp. 139-154.
Kapcsolattartás:
Lénárt István ilenart@cs.elte.hu
